[3Blue1Brown] #1,2 벡터, 벡터 공간과 기저

📖 [강의] 3Blue1Brown

• Vectors | Chapter 1, Essence of linear algebra

• Linear combinations, span, and basis vectors | Chapter 2, Essence of linear algebra

벡터 (Vector)

정의

완전히 같은 의미! 크기와 방향만 필요함

벡터: 방향을 가진 크기 \(\overrightarrow{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\)

• \(x\) 방향으로 1만큼 이동

• \(y\) 방향으로 2만큼 이동

벡터 합

좌표값x, 움직임으로 생각해보자.

원점에서 \(\vec{v}\) 만큼 이동하고, 다시 \(\vec{w}\) 만큼 이동

➡️ \(\vec{v} + \vec{w}\) , \(\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}\)

스칼라(scalar)

• 스칼라를 벡터에 곱함➡️벡터의 크기를 늘이거나 줄임(혹은 방향 전환)

• 주요 역할: 벡터를 스케일링하는 것! (=스케일러)

  • e.g.) \(2 \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 2 \end{bmatrix}\)
    • 리스트 관점에서, 벡터에 스칼라 곱 = 리스트의 각 원소에 스칼라를 곱함

단위 벡터 (unit vector)

• \(x\) 방향으로 길이가 1인 벡터
  • \(\hat{i}\), \(x\) 축의 단위 벡터
• \(y\) 방향으로 길이가 1인 벡터
  • \(\hat{j}\), \(y\) 축의 단위 벡터

단위 벡터 \(\hat{i}\), \(\hat{j}\)를 좌표계 \(\mathbb{R}\)의 표준 기저(standard basis) 벡터 라고 부른다.

• basis vector
  • 어떤 벡터 공간을 구성하는 선형 독립인 벡터
  • 벡터 공간에서, 모든 벡터를 선형 결합으로 표현할 수 있음

좌표값을 스칼라로 생각하면, 기저 벡터는 그 스칼라가 스케일링하는 대상이 된다.

기저 벡터는 특정 공간을 생성하는 축 역할 하고, 모든 벡터는 기저벡터들으 선형 결합으로 표현된다.

➡️ 좌표계를 2개의 기저벡터로 구성(framing) 하는 것!

모든 2차원 벡터들은 기저벡터와 스칼라 조합으로 표현할 수 있다.

어떤 벡터를 선택하면, 암뭄적으로 기저벡터를 선택하고 스케일링한 것

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선형 결합 (linear combination)

두 벡터를 스케일링하고 더하는 것을 두 벡터의 선형결합이라고 한다.

대부분 벡터쌍의 경우, 평면의 모든 점에 도달할 수 있다.(모든 2차원 벡터를 만듦)

예외

• 두 벡터의 조합 결과가 선(line)만 이루는 경우

• 두 벡터가 모두 제로 벡터(zero vector)인 경우 (-> 결과가 원점)

➡️ 2차원 벡터쌍의 Span은 대부분의 경우 2차원 공간 전체가 되지만, span이 특성 선 위로 제한되는 경우가 있다.

• span: 선형 결합으로 만들 수 있는 모든 점들의 결과 집합 (공간)

선형 종속 (linearly independent)

3차원 공간에서, 2개의 벡터쌍(선형 결합)의 결과(span)는 3차원 공간의 원점을 가로지르는 평면 공간이 된다.

• 3개의 벡터 선형 결합
  • 세 개의 스칼라를 기반으로 각 벡터를 스케일링한 후, 벡터 합

한 벡터가 두 벡터의 평면(span)에 포함되거나, 2개의 벡터의 선형 결합이 선을 이루고 있을 경우

➡️ 불필요한 벡터가 존재한다.

• 불필요한 벡터? 다른 벡터들의 조합으로 만들어질 수 있는 벡터
  • 어떤 벡터가 다른 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 있으면, 새로운 정보를 추가하지 않기 때문임

하나 이상의 벡터를 제거해도 span이 축소되지 않는 경우를 선형 종속 이라고 한다.

선형 독립 (linearly independent)

3차원 공간에서, 무작위로 세 번째 벡터를 선택한다면, 일반적으로 새로운 방향을 가리키게 된다.

➡️ 3차원의 모든 벡터에 접근할 수 있다!

각각의 벡터가 기존 span에 또 다른 차원을 추가할 수 있는 경우, 해당 벡터들을 선형 독립이라고 한다.